孙浩轩等关于高维张量协方差矩阵局地化估计的研究被《统计年刊》接收

来源：燕东数据派 2026年9月7日

近日，孙浩轩、陈松蹊和邱宇谋合作完成的论文《高维张量协方差矩阵的局地化估计》(Localization Estimator for High-Dimensional Tensor Covariance Matrices)被国际统计学顶尖期刊《The Annals of Statistics》(统计年刊)接受发表。该论文聚焦高维张量数据协方差矩阵的估计问题，提出了多重带状协方差类和局地化估计量，并建立了相关的统计理论性质。


在地球物理数据同化、医学影像和注意力机制等研究领域，观测数据日益呈现高维、多层的张量结构。在“超高维、小样本”设定下，样本协方差矩阵不再相合，需要利用协方差矩阵的潜在结构信息提升估计精度。不同于向量数据中的带状(bandable)结构，张量数据沿多个方向排列，其协方差可能沿不同方向存在异质衰减并具有非可分特征。因此，发展适用于张量数据的协方差矩阵估计方法，不仅能够拓展高维协方差矩阵估计理论，也可为集合卡尔曼滤波、医学判别分析等科学应用提供统计基础。


论文起因于西太平洋涡旋逐日温度、盐度变化的空间相关性研究。以盐度日增量为例，如图1所示，经涡旋中心对齐后，数据构成按“经度—纬度—深度”排列的三阶张量，其样本相关矩阵呈现“带状嵌套带状”的精细结构，反映出不同空间方向之间的复杂依赖关系，为研究高维张量协方差矩阵估计问题提供了直接动机。

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图1 (a) 2024年9月1日 西太平洋中尺度涡旋的海平面异常（左），10层盐度场以及平均盐度随深度的变化曲线（右）；(b) 每日盐度增量的样本相关矩阵（左）、海表对应的样本相关矩阵（中）及其在32°N-33°N、158°E-161°E区域的局部放大图（右）。


针对上述问题，论文首先提出了适用于张量数据的多重带状协方差类(multi-bandable covariance class)，用以刻画张量数据协方差在不同方向的异质衰减特征，允许非可分结构。然后，论文构建了适用于该协方差类的局地化估计量(localization estimator)，该估计量通过使用局地化函数对样本协方差矩阵赋权实现正则化，从而将Bickel and Levina 在2008年提出的针对高维向量数据的经典banding相合估计推广至一般高维张量数据。

在理论层面，论文证明了局地化估计在谱范数和Frobenius范数下的相合性，并建立其极小极大比率最优收敛速率。进一步地，基于Goldenshluger–Lepski 方法，论文发展了数据驱动的参数选择方法，能够在协方差衰减速率未知时自适应选择各方向的局地化尺度。数值模拟与西太平洋中尺度涡旋盐度重构的案例分析均验证了上述协方差类和估计方法的有效性。

论文第一作者为孙浩轩，现任哈尔滨工业大学数学学院和国际统计交叉中心预聘副教授。该论文源自其在北京大学大数据科学研究中心攻读博士学位期间的博士论文。论文合作者包括孙浩轩的博士生导师陈松蹊教授，以及北京大学数学学院和统计科学中心的邱宇谋研究员。研究得到国家自然科学基金重大研究计划集成项目，教育部基础学科和交叉学科突破计划以及国家自然科学基金重大项目资助。


论文详见：

Hao-Xuan Sun, Song Xi Chen and Yumou Qiu (2026) Localization Estimator for High Dimensional Tensor Covariance Matrices. The Annals of Statistics. To appear.